Здоровье населения является показателем внешнего и внутреннего социального благополучия, а также косвенным показателем национальной безопасности. Для создания здорового общества, прежде всего, необходимо особое внимание уделять детскому населению – важнейшему резерву производительных сил [5].

В последние годы в России отмечены неблагоприятные тенденции в состоянии здоровья новорожденных, физическом развитии и репродуктивном здоровье детей, регистрируется рост заболеваемости и инвалидности детей.

Проведем многомерный статистический анализ, применяемый для изучения взаимосвязей между значениями количественных переменных, так называемый метод главных компонент.

Метод главных компонент (англ. principal component analysis, PCA) – один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации.

Сформируем главные компоненты путем выделения наиболее значимых факторов, построим уравнения регрессии на главных компонентах.

Рассмотрим следующие показатели:

y – заболеваемость детей первого года жизни;

паразитарные болезни;

– новообразования;

отдельные нарушения, вовлекающие иммунный механизм;

поражение головного мозга;

болезни крови;

поражение легких;

поражение кишечника;

болезни мышц;

нарушения мочеиспускания;

отдельные состояния, возникающие в перинатальном периоде;

пороки развития;

симптомы, признаки и половые отклонения от нормы, выявленные при клинических и лабораторных исследованиях, не классифицированные в других рубриках;

другие последствия внешних причин.

Применим метод главных компонент к исходным данным, реализуем в прикладной программе STATISTICA с помощью пакета «Факторный анализ» (Многомерный разведочный анализ).

Для анализа выберем только факторные признаки (без результативного), именно их будем объединять в факторы. Максимальным числом факторов назначим 5, а мин. собственным значением 1. Отобразим полученные результаты в таблице собственных значений (табл. 1).

Таблица 1 – Собственные значения

С помощью МГК было выделено всего 4 фактора. В данном случае 49,4%  общей дисперсии объясняется первым фактором, 11,1% – вторым фактором, 9,8% – третьим фактором, а 7,9 – четвертым. Вместе все факторы объясняют 78,2% дисперсии.

Для более наглядного представления собственных значений можно применить график каменистой осыпи (рис. 1).

Рисунок 1 – График каменистой осыпи

Оценим значения факторных нагрузок и вычислим коэффициенты информативности для случая с 4 факторами. Применяем метод без вращения (табл. 2).

Таблица 2 – Факторные нагрузки без вращения

Главная компонента считается информативной, если коэффициент достаточно высокий Ки ≥ 0,5 ÷ 0,95. Необходимо использовать вращения для факторных нагрузок, применяя вращение «варимакс исходных». Получаем более высокие коэффициенты информативности (табл. 3).

Таблица 3 – Факторные нагрузки при «варимакс исходных»

Нормализованные коэффициенты информативности получаются достаточно хорошими для всех четырех факторов (табл. 4) [5]. Поэтому можно считать, что все факторы оказались информативными.

Таблица 4 – Коэффициенты информативности

Теперь рассмотрим переменные, которые вошли в каждую главную компоненту.

В первую главную компоненту вошли:

паразитарные болезни;

поражение головного мозга;

поражение легких;

поражение кишечника;

болезни мышц;

пороки развития;

отравления.

Название фактора – инфекционные заболевания органов.

Во вторую главную компоненту вошли:

отдельные нарушения, вовлекающие иммунный механизм;

отдельные состояния, возникающие в перинатальном периоде.

Название фактора – отдельные нарушения состояния здоровья.

В третью главную компоненту вошли:

– новообразования;

болезни крови;

Название фактора – болезни кровяной системы.

В четвертую главную компоненту вошли:

нарушения мочеиспускания;

симптомы, признаки и половые отклонения от нормы, выявленные при клинических и лабораторных исследованиях.

Название фактора – заболевания мочеполовой системы.

Теперь для этих факторов получаем значения факторов и для них проводим регрессионный анализ для определения степени влияния каждого фактора на результативный признак  – заболеваемость детей первого года жизни. Выполним пошаговую регрессию с исключением и выводим результаты (табл. 5).

Таблица 5 – Итоги множественной регрессии

В результате вычислений получили, что значимыми являются только 2 фактора из 4-ех: фактор 1 – инфекционные заболевания органов и фактор 4 – заболевания мочеполовой системы.

В итоге получаем уравнение:

y = 52786,9 – 46035,7f1 – 3977,4f4

 R² = 0,97

Коэффициент детерминации (R²) показывает, что 97% вариации результативного признака объясняется включенными в модель переменными (факторами 1, 4), остальные же 3% вариации объясняется неучтёнными в модели факторами [2].

Модель можно считать значимой, так как фактическое значение F-критерия Фишера превышает критическое при заданных степенях свободы и уровне значимости 95%.

Рассмотрим вероятностный график остатков для произведенных расчетов множественной регрессии (рис. 2).

Рисунок 2 – Нормальный вероятностный график

По графику остатков можно увидеть, что значения остатков распределены равномерно и достаточно хорошо ложатся на график нормальных остатков.

Коэффициенты уравнения показывают, насколько изменится значение результативного признака при изменении величины факторного на 1 единицу. С уменьшением инфекционных заболеваний органов (f1) на 1 единицу значение результативного признака уменьшится на 46035,7 ед. С уменьшением числа заболеваний мочеполовой системы на 1 единицу заболеваемость детей первого года жизни сократится на 3977,4 ед.

Объектом исследования в данной работе являются социально-экономические показатели регионов России за 2016 год [6].

За последнее десятилетие анализ многомерных данных стал одним из основных направлений прикладной математики, активно развивающимся и применяющимся практически во всех областях исследований, в том числе и в территориальных исследованиях.

Факторный анализ трактуется как раздел многомерного статистического анализа, объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц.

Данный вид анализа позволяет исследователю решить две основные задачи: описать предмет измерения компактно и в то же время всесторонне. С помощью факторного анализа возможно выделение факторов, отвечающих за наличие линейных статистических связей корреляций между наблюдаемыми переменными [4].

Для выявления наиболее значимых факторов и, как следствие, факторной структуры, наиболее оправданно применять метод главных компонентов. Следовательно, метод главных компонент оказывается весьма ценным инструментом территориальных исследований, поскольку дает возможность выявить и типичные сочетания некоторых региональных параметров, характерных для большинства субъектов РФ, и особенности, присущие лишь немногим регионам. Другой важной характеристикой метода является возможность ограничиться наиболее информативными главными социально-экономическими компонентами и исключить остальные из анализа, что упрощает интерпретацию результатов.

В данной работе рассматривается численность населения и 12 социально-экономических показателей по 85 регионам России.
Для установления связи между численностью населения и социально-экономическими показателями предлагается использовать модели, построенные на основе главных компонент. Метод главных компонент применяется для группировки исходных факторов таким образом, чтобы члены группы обладали корреляцией между собой, но группа в целом была бы независима от других групп. Линейно независимые группы факторов называют главными компонентами [2].

В начале анализа рассмотрим собственные значения, представленные в таблице 1.

Таблица 1 – Собственные значения

Дисперсии, выделяемые факторами, названы собственными значениями. В третьей колонке для каждого фактора приводится процент от общей дисперсии. Исходя из таблицы 1, первый фактор (значение 1) объясняет 33,2% общей дисперсии, фактор 2 – 18,4%. После получения информации о том, сколько дисперсии выделяет каждый фактор, нужно определить, какие факторы стоит оставлять.

Для группировки исходных факторов по независимым группам в методе главных компонент необходимо произвести отбор числа факторов. Для этого используются такие критерии как:

• Критерий Кайзера: в рассмотрение принимаются только факторы, которым соответствуют собственные числа ковариационной матрицы больше 1.
• Критерий каменистой осыпи: отбрасываем все факторы, соответствующие собственные числа которых мало отличаются.

В общем же случае приходится ограничиваться последовательной эксплуатацией критериев адекватности H0: m = m0 при альтернативе H1: m > m0 . Если гипотеза H0 отвергается, то переходят к проверке гипотезы: H0′: m’ = m0 +1 при альтернативе H1′: m’ = m0 +1и т.д. Однако по уровням значимости у каждой отдельной стадии такой процедуры трудно судить о свойствах всей последовательной процедуры в целом [5].

Для отбора социально-экономических факторов воспользуемся критерием каменистой осыпи. Построим график каменистой осыпи, представленный на рисунке 1. По нему видно, что осыпание наиболее существенно замедляется на четвертой точке, следовательно, можно ограничиться четырьмя факторами.

Рисунок 1 – График каменистой осыпи

В результате получаем 4 главные компоненты, у которых собственные значения больше 1.

Определим факторные нагрузки, выделим переменные, которые коррелируются с главной компонентой от 0,7. Факторные нагрузки можно интерпретировать как корреляции между факторами и переменными. Поэтому они представляют наиболее важную информацию, на которой основывается интерпретация факторов. В таблице 2 представлены факторные нагрузки для всех 4 факторов до вращения.

Таблица 2 – Факторные нагрузки без вращения

Из таблицы 2 видно, что два последних фактора оказались не загруженными, следовательно, необходимо произвести вращение факторов. Возможен выбор различный поворот оси. Выберем вращение квартимах исходный, то есть вращаемые нагрузки не нормализированы [3].

Получаем график факторных нагрузок, представленный на рисунке 2.

Рисунок 2 – Факторные нагрузки

Далее формируем главные компоненты. Первая главная компонента коррелирует со следующими показателями:

• X1 – Число браков на 1000 человек населения;
  
• X2 – Число разводов на 1000 человек населения;
  
• Х3 – Уровень занятости, в %.
  

Поэтому данную компоненту назовем брачная составляющая.

Вторая главная компонента коррелирует с переменными:

• Х5 – Число зарегистрированных преступлений на 100000 человек населения;
  
• X7 – Лесистость территорий, %;
  
• X8 – Земельная площадь с/х угодий в % от общей площади.
  

Обобщая, можно сказать, что вторая главная компонента отражает число правонарушений и отражает состояние экологии на территории регионов. Совокупность выделенных параметров характеризует уровень преступности и экологии, поэтому данную компоненту назовем составляющая преступности и экологии.

Третья главная компонента коррелирует с переменной X11 – Ввод в действие жилых домов на 1000 человек населения, м² общей площади. Поэтому назовем ее жилищной составляющей.

Четвертая главная компонента коррелирует с переменными:

• X9 – Число предприятий и организаций;
  
• X12 – Оборот розничной торговли на душу населения, рублей.
  

Данная компонента выражает уровень развития бизнеса и торговли, поэтому назовем ее бизнес составляющей.

Рассчитаем коэффициент информативности главных компонент. Получаем таблицу 3 с факторными нагрузками.

Таблица 3 – Факторные нагрузки после вращения

Как видно из таблицы 3, фактор 2 (составляющая преступности и экологии) имеет наибольшую информативность, а значит, он оказывает наибольшее влияние на численность населения. Наименьшую информативность имеет жилищная составляющая.

О нормальности остатков также можно судить по вероятностному графику остатков, который представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 – Нормальный вероятностный график остатков

Так как остатки достаточно хорошо ложатся на прямую, то можно говорить о том, что распределение близко к нормальному и разделение по компонентам выполнено правильно.

Следовательно, основными факторами, влияющими на численность населения в России, являются: брачная составляющая, составляющая преступности и экологии, жилищная составляющая и бизнес составляющая. Причем составляющая преступности и экологии оказывает наибольшее влияние на численность населения регионов России.

Уровень здоровья населения относится к числу наиболее значимых направлений исследования в социальной статистике. Это важный показатель, который требует особо четкого внимания. 
Для того чтобы понять настоящую ситуацию в этой сфере, необходим ежегодный мониторинг данной области. Но так как простого сбора данных недостаточно, то нужен их анализ, а также установление различных взаимосвязей и выявление факторов, влияющих на те или иные показатели. 
Таким образом, уровень заболеваемости является одной из основных социальных проблем, которая главным образом влияет в целом на число населения.
Для анализа и обработки огромного количества регистрируемых признаков, необходимо воспользоваться удобным и четким методом главных компонент, он предполагает уменьшение размерности информации. 
Ниже приведены факторы, которые влияют на заболеваемость девочек 14-16 лет. Проанализируем данные Минздрава России за 2016 год. 
x₁ - группа заболеваний, вызываемых паразитами, а также инфекционные заболевания, чел.;
x₂ -  болезни системы крови, кроветворных органов и иммунного механизма, чел.; 
x₃ -  нарушения пищевого поведения и нарушения углеводного обмена, чел.; 
x₄ -  расстройства поведения и душевные расстройства, чел.;
x₅ -  нервные заболевания, чел.;
x₆ -  глазные заболевания, чел.;
x₇ -  ушные заболевания, чел.;
x₈ -  болезни системы кровообращения, чел.;
x₉ -  заболевания органов дыхания, чел.;
x₁₀ -  болезни органов пищеварения, чел.;
x₁₁ -  кожные заболевания, чел.; 
x₁₂ -  болезни мочеполовой системы, чел.;
x₁₃ -  последствия внешних причин (травмы), чел.;
Проанализируем данные Минздрава России за 2016 год. Для этого необходимо сформировать главные компоненты путем выделения наиболее значимых факторов и построить уравнения регрессии на главных компонентах. Метод главных компонент необходимо применить к исходным данным, реализуемым в прикладной программе STATISTICA с помощью пакета «Факторный анализ» (Многомерный разведочный анализ). Полученные собственные значения отражены в таблице 1.

Таблица 1 – Собственные значения

С помощью МГК было выделено всего 2 фактора. В данном случае 68,28%  общей дисперсии объясняется первым фактором, 7,97% – вторым фактором, Вместе все факторы объясняют 76% дисперсии.

Далее необходимо оценить значения факторных нагрузок и вычислить коэффициенты информативности для случая с двумя факторами. Главная компонента считается информативной, если коэффициент достаточно высокий Ки ≥ 0,65 ÷ 0,95. Исходя из условия информативности, только первые два фактора являются информативными, поэтому необходимо использовать вращения для факторных нагрузок. В результате после применения вращения «Варимакс исходных», получаем более высокие коэффициенты информативности у первого и второго факторов, это представлено в таблице 2.

Таблица 2 – Факторные нагрузки при варимакс исходных

При варимакс исходных коэффициенты информативности получаются достаточно хорошими для двух факторов, поэтому нет необходимости уменьшать количество факторов.
Переменные, которые вошли в каждую главную компоненту. 
К первой компоненте относятся: x₁ - группа заболеваний, вызываемых паразитами, а также инфекционные заболевания.; x₃ - нарушения пищевого поведения и нарушения углеводного обмена; x₅ -  нервные заболевания, чел; x₆ - глазные заболевания; x₇ - ушные заболевания; x₉ - заболевания органов дыхания; x₁₀ - болезни органов пищеварения; x₁₁ - кожные заболевания; x₁₂ - болезни мочеполовой системы; x₁₃ - последствия внешних причин (травмы). 
Ко второй компоненте относится x₄ - расстройства поведения и душевные расстройства, чел.;
Далее необходимо определить степень влияния каждого фактора на результативный признак y - число заболеваний, зарегистрированных у девочек 14-16 лет. Выведенная пошаговая регрессия с исключением представлена в таблице 3.

Таблица 3 – Итоги множественной регрессии

Отсюда следует, что значимым является только первый фактор. Полученное уравнение регресии имеет вид:

      (1)

Коэффициент детерминации R² =0,97 показывает, что 97% вариации результативного признака объясняется включенной в модель переменной (фактор 1), остальные 3% вариации объясняется неучтёнными в модели факторами.

Модель можно считать значимой, так как фактическое значение F- критерия Фишера превышает критическое при заданных степенях свободы и уровне значимости 97%.

Каждый коэффициент также можно считать значимым, так как критическое значение t-критерия Стьюдента меньше каждого фактического значения.
По вероятностному графику, который изображен на рисунке 1, видно, что значения остатков распределены достаточно равномерно и хорошо ложатся на график нормальных остатков.

Рисунок 1  Нормальный вероятностный график

Коэффициенты уравнения показывают, насколько изменится значение результативного признака при изменении величины факторного на 1 единицу. С уменьшением показателя f₁ на 1 единицу значение результативного признака уменьшится на 45283,8 ед. Влияние показателя f₂ оказалось незначительным и не вошло в окончательное уравнение.
Из уравнения видно, что первый фактор наиболее часто встречается как заболевание, зарегистрированное у девочек 14-16 лет. 
Можно сделать вывод, что в ходе данной работы были выделены две главные компоненты, что облегчило дальнейшую работу с моделью. Затем с помощью пошаговой регрессии с исключением были выделены наиболее существенные факторы и объяснено их влияние на результативный признак.