Рисунок 1. Мода и медиана, согласно закона Гаусса

При классификации мер по уровню измерения в самой первой, номинальной шкале, устанавливающей отношение равенство объектов ,первичной, центральной тенденцией является мода.(подсчет частоты встречи случаев качественных объектов, и выбор наибольшей частоты).[3;Цыба В.Т. «Математико-статистические основы социологических исследований»;Москва; ,Финансы и статистика;2001]

Во вторичной – порядковой шкале ,устанавливающей отношение последовательности объектов, в центральную тенденцию прибавляется еще медиана(определение значения признака в середине порядкового ряда ;½ отрезка от минимума до максимума).[ 3;Цыба В.Т. «Математико-статистические основы социологических исследований»;Москва; ,Финансы и статистика;2001] Значение варьирующего признака, который находиться в середине ряда значений, расположенных в порядке возрастания или убывания представляет медиану.

Медиана-это функция, описывающая средние значения ряда двояко: по абсциссе и ординате – проекция половины ряда на графическую линию распределения и по ординате – половина кумулятивного накопления
признака.

Точки наблюдения через равные промежутки времени:4,3; 2,5; 3,5; 4,5; 6,0; 2,6; 1,6; 2,5 Накопленное значение = 27,5

Рисунок 2. Изображение структурных средних – моды.

Ряд 1- график функции Y

- Мода

 Структурная медиана – средние проекции криволинейной функции У на ортогональные координаты например проекция на ось абсцисс-Х

 Структурная медиана – средние размаха(max-min) криволинейной функции У: например с учетом проекции на ось ординат – У.

 Кумулята в точке наблюдения, где накопление значений криволинейной функции достигает ½ (половине) всей суммы значений признака.- функциональная
медиана.

1 вариант Отмечают структурную пассивную среднюю, как половину отрезка-проекции на координатные оси- графика X и У

а) ось Х обычно постоянный(неподвижный),пассивный признак. Означает обычно, временные разделы или равное количество объектов, которые имеют жесткую привязку к абсциссе. Х- производный показатель(не влиятельный),обычно имеет значение, как ½ отрезка по оси Х, равного Х_max- X_min или 0-Х_max.

б) ось У обычно функциональна, и отмечает направляющие изменения графика. При рассмотрении структуры и ее проекции на ось ординат У, для определения медианы, определяют середину этой проекции и отмечают значение криволинейной функции У во всех точках совпадающих со средним значением на данной координатной оси(собирают значения координатных точек по оси абсцисс). Половина проекционного отрезка по оси У будет так же пассивной медианой.(используется редко, в основном в архитектурных проектах). Чаще применяется медиана, как половина от максимального значения функции У -. средние размаха( Y max – Y min) . Это означает, что в функции первая точка наблюдения (отсчет) равна нулю.

2 вариант. Определяем середину на самом графике функции У.Для этого 1)определяем сумму всех значений функции в точках наблюдения и делим пополам. Это и будет медианное значение результативного фактора У.2)Определяем накопленное значение в каждом пункте списка точек наблюдения по порядку ведущего счета. Останавливаемся на точке ,куда войдет значение структурной средней(половина суммы всех значений). Пример:27,5/2=13,75;это(Ме) значение попадает в точку наблюдения по оси Х, равную категории четыре (4,3+2,5+3,5+4,5=14.8)

Такая медиана будет факторной, так как учитывает неравномерность изменения развития социально-экономического явления.

Таким образом :-медиану 1-го варианта обычно обозначают Ме_п (медиана пассивная)-1/2 вариационного или интервального ряда;

-медиану 2-го варианта обычно обозначают Ме_ф ( медиана функциональная) .Функциональная медиана рассчитанная по показателям заработной платы работников, покажет значение зарплаты, которую получает половина работников, остальная половина получает большую зарплату.

На основе медианы рассчитывают коэффициент отклонения от равных долей. Коэффициент показывает структурные сдвиги соотношения долей в дисперсиях(q×p), то есть учитывается сдвиг долей от равномерного (1/2) поделения совокупности на доли(50%), заполненные альтернативными показателями(Q и P) .

K_Q=4× [p] ; Т.к. Q отношение фактической дисперсии(q×p) к равно долевой (0,5× 0,5=0,25=1/4),поэтому K_Q = 4p×q При расчете коэффициента показатели долей чем ближе к 0,5 ,тем больше коэффициент .Например: значение показателя в долях 0,49,даст значение коэффициента 0,999; 0,53 – 0,996;0,83 – 0,564;0,81- 0,616. Особенность отклонения от медианного значения двух альтернативных качественных признаков в соотношении долей ½,учитываются отклонения, как в увеличение, так и в уменьшение от значения медианы, поэтому 0,3 и 0,8;0,6 и 0,4;0,1 и 0,9 по модулю дадут одинаковое значение коэффициента. Коэффициент отклонения от медианы долевого ряда ,равного единицы покажет например перерасход или же наоборот не потраченные ресурсы выделенные на временной период, превышение или замедление от среднего движения потока развития социально-экономического явления.

В дискретном, вариационном ряду моду будет представлять варианта, которая обладает наибольшей частотой.

Мода- структурная средняя, наиболее часто встречающийся вариант наблюдения.

Рисунок 3.Медиана – на графике с ординатой частоты(см.закон Гаусса)

Мода имеет прямую связь с законом Гаусса или законом нормального распределения.

Закон Гаусса описывает рассеяние случайной величины около среднего значения(максимальная частота),при этом малые отклонения от средней встречаются часто, а большие редко и по обе стороны от средней.

То есть при измерении некоторого признака, имеют место отклонения от усредненной нормы, чем больше эти отклонения, тем реже они встречаются. Соответственно, структурная средняя – мода, имеет наибольшую частоту случаев в поле нормального распределения.

Мода является максимальным экстремумом по оси Y- частота признака.

В матричном представлении, мода покажет наиболее полное заполнение клетки матрицы значением признака(наибольшее значение).

При расчете заработной платы работников значение моды будет означать самую распространенную заработную плату в организации.

Существует прямая логическая связь энтропии и моды.

Если все варианты, кроме одного – Мо(моды),равны нулю, то энтропия обращается в нуль(исход предопределен – неопределенность отсутствует).

Существуют модальные и медианные интервалы. Соответственно при расчете плотности распределения признака(количество случаев приходящееся на единицу ширины интервала) также будет модальной и медианной.

Например в модальных и медианных интервалах плотность распределения равна Pl=f_мод/(X_{верхн граница интерв.}-X_{нижн.граница интерв}).

Рисунок 4.Мода и медиана, согласно правилам структурных средних.

Например, плотность распределения модального интервала 50/(12-10)=25

(где 50-работников – модальная частота-f_мод ; оплата труда 12-10 евро в час). Означает, что в отрезке равном 2 (от 10 до 12) на одну варианту приходится 25 единиц частоты признака(10-11;11-12).

Мода и медиана – показатели повышенной точности. Если даются модальные и медианные интервалы, дополнительно рассчитывают детализированные позиции внутри интервалов – цельные значения моды и медианы. Значения моды и медианы заключены в пределах конкретного интервала, а формулы нахождения структурных средних с точностью ,исключающей малейшие отклонения такие:

Ме = X_Me + h× Мо =X_Mo + h×

Где: h-шаг интервала;X_Me, X_Mo-начальная граница медианного и модального интервала;
- модальная ,предмодальная и послемодальная частота;-медианная частота;-накопленная частота предшествующая медианной.[2;Статистический Словарь, М:, Энциклопедия, 2005]

Знаем что дискретные ряды распределения, в которых рассчитываем структурные средние бывают прерывные(в обозначенных местах целые числа) и непрерывные(проекция на ось в любом месте, может иметь любые значения).Мо и Ме так же будут прерывными(число целое или целое с половиной) и непрерывными(ограничено лишь точностью измерения).

Если характеризуется явление состоящее из разных социально-экономических типов, которые имеют различные законы развития, то структурные средние будут адекватно характеризовать эти явления только в том случае, если предварительно выделены с помощью группировок равномерно распределенные типы явления, то есть качественно однородные совокупности и только тогда в отношении изучаемого свойства все единицы данной совокупности будут подчинены одному закону развития и значит все показатели будут репрезентативны. Модальные и медианные средние рассчитываются как групповые средние – по каждой выделенной типической группе.

По закону Гаусса(закон нормального распределения) усредненный признак -есть мода-признак с наибольшей частотой встречи случаев в природе (он будет серединой колоколообразной поверхности и обладать самой высокой планкой –частотой признака).Мода и медиана ,поэтому в природе(опираясь на закон Гаусса накладываются друг на друга(процесс интерференции).Поэтому моду- самую высокую точку на графике с функцией частоты – считают мерой положения- детерминированной (неслучайной ) частью первообразных – интеграла, включающего в раздел от минус бесконечности до моды множество первообразных.

Изгиб верхней дуги от точки моды = =
= =0,05^o ;

Точка мода ––средняя структуры; центр группы точек, относительно которой минимальное отклонение, то есть минимум квадратов отклонений е=2,721,П=180^о .См.рис.2.

Для средней точки(моды) :F( [1;Паниотто В.С, Максименко В.С.- Количественные методы в социологических исследованиях:, Киев:, Наукова думка,2002]

В случае наложения признаков друг на друга в одной точке(моде),то есть закон интерференции, F(x)=1.

В квадратных симметричных матрицах – пассивная медиана ½ площади матрицы ,является матричной структурной средней. Факторный анализ ,метод главных компонент может рассчитываться учитывая отклонение от структурной средней матрицы.

Структурные средние особенно важны для таблиц, матриц, лучей распределения, в позиции заполнения нормированными значениями признака

(во всех клетках таблицы одинаковые числовые значения),то вычленяется структура и объем матриц (таблиц).Определяется число строк, число столбцов и середина цельного объема(площади) матрицы или таблицы, как линия отсекающая ровно половину квадрата(прямоугольника, линии)-то есть медианное (пассивное)значение структуры Оно может быть одномерное (точка на луче интенсивности или временного ряда),двумерное(координаты Х и У) и трехмерное – как линия отсекающая половину рассматриваемого объема(координаты Х,У и Z- длина линии).

Обычно медианной структурной средней в симметричной матрице бывает диагональ. Которая в корреляционной таблице (матрице) заполнена значениями 1(абсолютная корреляция-интерференция признака) или значением 0(отсутствие корреляции между двумя разными элементами).

Особенно часто опираются на медианную линию, как ½ площади объекта при моделировании архитектурных сооружений различного назначения и всевозможных геометрических расчетах .

Модальная структурная средняя используется в исследованиях биологических популяций видов в ботаники и молекулярной генетики, психологии.