В образовании можно и нужно применять интересные статистические методы в преподавании как экономических, так и технических дисциплин. Применение математических методов в информатике позволяет систематизировать информацию, исследовать ее в разных ракурсах, анализировать тенденции развивающиеся во времени в информационных системах.

Примером логического анализа проблемы с помощью математико-статистического метода. является исследование вопросов связанных с информационными технологиями. с применением нормированных разностей и линейного коэффициента корреляции.

Представленные для анализа данные.

Таблица 1:Характеристика компьютерных систем с фирменными брендами.

Важно устанавливать степень линейности связей. Для этого существует критерий линейности. Коэффициент линейности должен быть больше 50% или 0,5.

Линейной связи нет(min) ;

 Строго линейная связь(max)

Пороговый уровень линейной связи 0,5. Критерий линейной корреляции.

Рисунок 1-Формы линейных связей.

Линейная связь между признаками – это строгая функциональная связь между признаками. Тенденции синхронного прямолинейного возрастания (убывания) или взаимообратный процесс, имеющий линейный характер.[1]

Рассчитаем нормированную разность между признаками ,обозначающие баллы выставленные экспертами.

Матрица нормированных разностей между фирмами по первому исследуемому признаку- баллы экспертов.

Нормированная разность по своей сути относительный показатель координации, покажет отношение разности между координатами двух признаков к среднеквадратическому отклонению таблицы(то есть среднее отклонение исходных элементов таблицы от средней лини направляющей линии или среднего потока).Большее значение нормированной разности означает большую разность между признаками приходящихся на единицу среднеквадратического отклонения таблицы(например баллами и секундами и пр.).

d_ij=

-среднеквадратическое отклонение признаков (по столбцам) X_j

 абсолютная разность значений пары признаков у единиц совокупности с соответствующими порядковыми расположениями в столбце j.

Нормированная разность по среднеквадратическому отклонению. Нормирование – в долях снимает натуральные единицы измерения и позволяет работать с признаками, измеряемыми разными единицами измерения. [1]

Таблица 2-Нормированные разности между экономическими объектами(показателями)

= 5,1

= 2,997 баллов

Самая большая поляризация, согласно нормированных разностей (3,003)между фирмами J и D.

Интерференция(совпадение признаков) между элементами S и M.

С помощью нормированных разностей можно определить евклидовы расстояния, на значении которых основан кластерный анализ.

Теперь можно установить линейную тенденцию в корреляции между двумя признаками x_i и y_i рассчитав линейный коэффициент парной корреляции.

Этот коэффициент основан на нормированных отклонениях.

d_x=; d_y=

Среднее произведение нормированных отклонений пары признаков =
есть линейный коэффициент корреляции.[1,2]

r = 

Для подсчета линейного коэффициента корреляции образуем вспомогательную таблицу.

Таблица 3-Расчетая таблица по признакам x и y .

					×
D	4,1	16,81	0,3	0,09	1,23
Sh	2,1	5,76	0,1	0,01	0,21
M	1,1	1,21	0,2	0,04	0,22
S	1,1	1,21	0,1	0,01	0,11
I	0,1	0,01	0,2	0,04	0,02
F	3,9	15,21	0,2	0,04	0,78
J	4,9	24,01	0,1	0,01	0,49
S	17,3	64,22	1,2	0,24	3,06

=  = 3,03

=

r = = =3,06/3,92= 0,78

Линейная зависимость сильная. Наблюдается тенденция увеличения значений, как показателя 1,так и показателя 2.Если один упорядоченный ряд ,а второй ряд увеличивается по неравномерной прогрессии, то есть элементы не только увеличиваются но и уменьшаются, линейный коэффициент будет меньше, в зависимости от количества элементов, не подходящих под линию соответствующей упорядоченности.[1,2]

Представленный пример имеет малую градацию признаков, но в информационных технологиях мы имеем дело с огромными массивами информации равные сотням, а то и тысячи позиций. Математические и статистические методы помогут вывести четкое числовое значение зависимостей соответствующих признаков, подтвердят или опровергнут выдвигаемые гипотезы, укажут на прямую и обратную связь основных показателей.

В образовании симбиоз математики и информатики поможет научить логически мыслить, овладеть богатым опытом применения математических и статистических методов в массивах информации, информативно насытиться новыми знаниями.

Данные методы помогут в маркетинговых исследованиях самого различного характера.

Конечно, ставя перед собой экономические задачи, основной целью использования коэффициентов будет исследование тренда экономического явления.

Если хотим установить зависимость между укрупненными (общими структурами) и частными, детализированными звеньями информационной системы экономического явления, выстраиваем иерархические уровни, собираем данные за определенный временной промежуток опытным путем, заполняя специальную карточку.

Рисунок 1-.Иерархия информационной системы экономического явления от крупных до мелких звеньев.

C- Отрицательные связи – (ошибки, сбои в работе по обработке экономической информации и т.д.)

B-Нейтральные связи 0 (работа с обычной скоростью обработки экономической информации)

A-Положительная связь + (внесение обновленной версии приводит к увеличению скорости обработки экономической информации, улучшение работы и т.д. )

Одинарная карточка – документальная форма одного случая социально-экономических связей.(Например: можно отразить межотраслевую корреляцию экономической цепочки).[3]

Таблица 1: Социально-экономические связи.

ПС_i –положительная связь s+/X-1

ОС_i-отрицательная связь s-/X-1

X-1 – количество объектов (связей) минус 1(максимально возможное количество связей у одного уровня В данном примере:X-1= 6-1=5

ПА_i-положительная активность d+/X-1

ОАi –отрицательная активность d-/X-1

s+, s-
положительное и отрицательное количество социально-экономических связей всего имеющихся у объекта (уровня)

d+ ,
d- положительное и отрицательное количество социально-экономических связей идущих от одного объекта

Такие карточки могут заполняться раз в два дня. За месяц можно собрать информацию равную 20 случаев.

При анализе полученных данных необходимо составить сводную таблицу ,и рассчитать коэффициенты взаимной корреляции Чупрова.

К примеру, сбор случаев зависимостей между 1 и 2 уровнями.

Собираем 20 раз карточки информационных зависимостей экономического явления и фиксируем все случаи положительных связей +,отрицательных связей -,и обычные(нейтральные) позиции. Подсчитываем собранные сводные данные за месяц.

Взаимосвязь 1 и 2 элементов информационной системы экономического явления 20 карточек с зафиксированными данными.

Таблица 2-Взаимная корреляция 1/2

2 1	A(-)	B(+/-)	C(+)	S
A(-)	**** 4	** 2	* 1	7
B(+/-)	**** 4	** 2	* 1	6
C(+)	**** 4	* 1	** 2	7
S	11	5	4	20

Вспомним формулу коэффициента Чупрова :

Ch= m- количество обследуемых единиц подлежащего (исследуемые объекты );i-количество строк;j-количество столбцов.

c² –непараметрический критерий исхода гипотезы.

c²= где -исходное количество элементов таблицы

-сумма показателей по строке

сумма показателей по столбцу

-сумма сумм – сумма всех элементов таблицы.

Рассчитанный коэффициент Чупрова вписываем в необходимую клетку корреляционной таблицы – симметричной матрицы.[1,2]

Составляем таблицу коэффициентов корреляции(например, межотраслевой баланс).

Таблица3-Корреляционная таблица экономической информации.

Выделены максимальные элементы по каждой строке(исключая повторные связи, в связи с симметрией матрицы).

Далее строим корреляционную плеяду тренда экономического явления.

Корреляционная плеяда-это изображение максимальных по значению парных коэффициентов взаимосвязи графически, причем по горизонтальным векторам матрицы (по строкам) или по вертикальным векторам(по столбцам).

В графике положительные связи обозначаются прямой линией

отрицательные связи- штриховой линией

Обычно учитываются только значимые корреляционные связи, значение показателя корреляции больше 0,3.

Можно детализировать величину корреляционной сопряженности по толщине соединительных линий, чем сильнее взаимосвязь, тем больше ширина линии.

Выбирая максимальные элементы, повторы корреляционных связей, уже задействованные в плеяде исключаются и выбирается максимальный элемент из оставшихся комбинаций связей.[1]

Бывают такие виды корреляционных плеяд[3]:

1.Цепь и расщепленная цепь: Каждый признак связан максимально с двумя другими признаками; расщепленная цепь в узле имеет соединение равное трем элементам.

Рисунок 2-Плеяды социально-экономического явления «цепь» и «расщепленная цепь».

2.Звезда:центральный признак является главным по отношению к другим и связан более чем с тремя другими признаками.

Рисунок 3-Плеяда социально-экономического явления «звезда»

3.Сеть:появление в корреляционных плеядах типа «звезда» дополнительных связей между признаками.

Рисунок 4-Плеяда социально-экономического явления «сеть»

На практике чаще всего встречается комбинация из разных видов плеяд. Может быть незавершенный рисунок определенного вида корреляционной плеяды(например полусеть, или полузвезда).Из всех видов корреляционных плеяд наиболее распространены цепи.

В нашем примере выбираем максимум, например по строке.

Рисунок 5- Корреляционная плеяда типа расщепленная цепь тенденции экономического явления.

Таким образом исследуются важнейшие связи крупных, средних и мелких(детализированных) экономических структур. Можно определить независимый элемент, связи прямые и обратные. Так например положительные изменения в крупной структуре могут повлечь за собой самые различные реакции остальных звеньев системы , а именно: положительная реакция, нейтральная позиция и обратная, то есть отрицательная реакция. Можно определить изолированное от стороннего влияния звено и т.д.

Плеяды, отражающие корреляцию структур наглядно покажут основную, ярко выраженную тенденцию экономических зависимостей, то есть можно проследить степень влияния крупных признаков на более мелкие, увидеть общую тенденцию : при изменении одного звена, как измениться связь других признаков.

Рисунок 1. Мода и медиана, согласно закона Гаусса

При классификации мер по уровню измерения в самой первой, номинальной шкале, устанавливающей отношение равенство объектов ,первичной, центральной тенденцией является мода.(подсчет частоты встречи случаев качественных объектов, и выбор наибольшей частоты).[3;Цыба В.Т. «Математико-статистические основы социологических исследований»;Москва; ,Финансы и статистика;2001]

Во вторичной – порядковой шкале ,устанавливающей отношение последовательности объектов, в центральную тенденцию прибавляется еще медиана(определение значения признака в середине порядкового ряда ;½ отрезка от минимума до максимума).[ 3;Цыба В.Т. «Математико-статистические основы социологических исследований»;Москва; ,Финансы и статистика;2001] Значение варьирующего признака, который находиться в середине ряда значений, расположенных в порядке возрастания или убывания представляет медиану.

Медиана-это функция, описывающая средние значения ряда двояко: по абсциссе и ординате – проекция половины ряда на графическую линию распределения и по ординате – половина кумулятивного накопления
признака.

Точки наблюдения через равные промежутки времени:4,3; 2,5; 3,5; 4,5; 6,0; 2,6; 1,6; 2,5 Накопленное значение = 27,5

Рисунок 2. Изображение структурных средних – моды.

Ряд 1- график функции Y

- Мода

 Структурная медиана – средние проекции криволинейной функции У на ортогональные координаты например проекция на ось абсцисс-Х

 Структурная медиана – средние размаха(max-min) криволинейной функции У: например с учетом проекции на ось ординат – У.

 Кумулята в точке наблюдения, где накопление значений криволинейной функции достигает ½ (половине) всей суммы значений признака.- функциональная
медиана.

1 вариант Отмечают структурную пассивную среднюю, как половину отрезка-проекции на координатные оси- графика X и У

а) ось Х обычно постоянный(неподвижный),пассивный признак. Означает обычно, временные разделы или равное количество объектов, которые имеют жесткую привязку к абсциссе. Х- производный показатель(не влиятельный),обычно имеет значение, как ½ отрезка по оси Х, равного Х_max- X_min или 0-Х_max.

б) ось У обычно функциональна, и отмечает направляющие изменения графика. При рассмотрении структуры и ее проекции на ось ординат У, для определения медианы, определяют середину этой проекции и отмечают значение криволинейной функции У во всех точках совпадающих со средним значением на данной координатной оси(собирают значения координатных точек по оси абсцисс). Половина проекционного отрезка по оси У будет так же пассивной медианой.(используется редко, в основном в архитектурных проектах). Чаще применяется медиана, как половина от максимального значения функции У -. средние размаха( Y max – Y min) . Это означает, что в функции первая точка наблюдения (отсчет) равна нулю.

2 вариант. Определяем середину на самом графике функции У.Для этого 1)определяем сумму всех значений функции в точках наблюдения и делим пополам. Это и будет медианное значение результативного фактора У.2)Определяем накопленное значение в каждом пункте списка точек наблюдения по порядку ведущего счета. Останавливаемся на точке ,куда войдет значение структурной средней(половина суммы всех значений). Пример:27,5/2=13,75;это(Ме) значение попадает в точку наблюдения по оси Х, равную категории четыре (4,3+2,5+3,5+4,5=14.8)

Такая медиана будет факторной, так как учитывает неравномерность изменения развития социально-экономического явления.

Таким образом :-медиану 1-го варианта обычно обозначают Ме_п (медиана пассивная)-1/2 вариационного или интервального ряда;

-медиану 2-го варианта обычно обозначают Ме_ф ( медиана функциональная) .Функциональная медиана рассчитанная по показателям заработной платы работников, покажет значение зарплаты, которую получает половина работников, остальная половина получает большую зарплату.

На основе медианы рассчитывают коэффициент отклонения от равных долей. Коэффициент показывает структурные сдвиги соотношения долей в дисперсиях(q×p), то есть учитывается сдвиг долей от равномерного (1/2) поделения совокупности на доли(50%), заполненные альтернативными показателями(Q и P) .

K_Q=4× [p] ; Т.к. Q отношение фактической дисперсии(q×p) к равно долевой (0,5× 0,5=0,25=1/4),поэтому K_Q = 4p×q При расчете коэффициента показатели долей чем ближе к 0,5 ,тем больше коэффициент .Например: значение показателя в долях 0,49,даст значение коэффициента 0,999; 0,53 – 0,996;0,83 – 0,564;0,81- 0,616. Особенность отклонения от медианного значения двух альтернативных качественных признаков в соотношении долей ½,учитываются отклонения, как в увеличение, так и в уменьшение от значения медианы, поэтому 0,3 и 0,8;0,6 и 0,4;0,1 и 0,9 по модулю дадут одинаковое значение коэффициента. Коэффициент отклонения от медианы долевого ряда ,равного единицы покажет например перерасход или же наоборот не потраченные ресурсы выделенные на временной период, превышение или замедление от среднего движения потока развития социально-экономического явления.

В дискретном, вариационном ряду моду будет представлять варианта, которая обладает наибольшей частотой.

Мода- структурная средняя, наиболее часто встречающийся вариант наблюдения.

Рисунок 3.Медиана – на графике с ординатой частоты(см.закон Гаусса)

Мода имеет прямую связь с законом Гаусса или законом нормального распределения.

Закон Гаусса описывает рассеяние случайной величины около среднего значения(максимальная частота),при этом малые отклонения от средней встречаются часто, а большие редко и по обе стороны от средней.

То есть при измерении некоторого признака, имеют место отклонения от усредненной нормы, чем больше эти отклонения, тем реже они встречаются. Соответственно, структурная средняя – мода, имеет наибольшую частоту случаев в поле нормального распределения.

Мода является максимальным экстремумом по оси Y- частота признака.

В матричном представлении, мода покажет наиболее полное заполнение клетки матрицы значением признака(наибольшее значение).

При расчете заработной платы работников значение моды будет означать самую распространенную заработную плату в организации.

Существует прямая логическая связь энтропии и моды.

Если все варианты, кроме одного – Мо(моды),равны нулю, то энтропия обращается в нуль(исход предопределен – неопределенность отсутствует).

Существуют модальные и медианные интервалы. Соответственно при расчете плотности распределения признака(количество случаев приходящееся на единицу ширины интервала) также будет модальной и медианной.

Например в модальных и медианных интервалах плотность распределения равна Pl=f_мод/(X_{верхн граница интерв.}-X_{нижн.граница интерв}).

Рисунок 4.Мода и медиана, согласно правилам структурных средних.

Например, плотность распределения модального интервала 50/(12-10)=25

(где 50-работников – модальная частота-f_мод ; оплата труда 12-10 евро в час). Означает, что в отрезке равном 2 (от 10 до 12) на одну варианту приходится 25 единиц частоты признака(10-11;11-12).

Мода и медиана – показатели повышенной точности. Если даются модальные и медианные интервалы, дополнительно рассчитывают детализированные позиции внутри интервалов – цельные значения моды и медианы. Значения моды и медианы заключены в пределах конкретного интервала, а формулы нахождения структурных средних с точностью ,исключающей малейшие отклонения такие:

Ме = X_Me + h× Мо =X_Mo + h×

Где: h-шаг интервала;X_Me, X_Mo-начальная граница медианного и модального интервала;
- модальная ,предмодальная и послемодальная частота;-медианная частота;-накопленная частота предшествующая медианной.[2;Статистический Словарь, М:, Энциклопедия, 2005]

Знаем что дискретные ряды распределения, в которых рассчитываем структурные средние бывают прерывные(в обозначенных местах целые числа) и непрерывные(проекция на ось в любом месте, может иметь любые значения).Мо и Ме так же будут прерывными(число целое или целое с половиной) и непрерывными(ограничено лишь точностью измерения).

Если характеризуется явление состоящее из разных социально-экономических типов, которые имеют различные законы развития, то структурные средние будут адекватно характеризовать эти явления только в том случае, если предварительно выделены с помощью группировок равномерно распределенные типы явления, то есть качественно однородные совокупности и только тогда в отношении изучаемого свойства все единицы данной совокупности будут подчинены одному закону развития и значит все показатели будут репрезентативны. Модальные и медианные средние рассчитываются как групповые средние – по каждой выделенной типической группе.

По закону Гаусса(закон нормального распределения) усредненный признак -есть мода-признак с наибольшей частотой встречи случаев в природе (он будет серединой колоколообразной поверхности и обладать самой высокой планкой –частотой признака).Мода и медиана ,поэтому в природе(опираясь на закон Гаусса накладываются друг на друга(процесс интерференции).Поэтому моду- самую высокую точку на графике с функцией частоты – считают мерой положения- детерминированной (неслучайной ) частью первообразных – интеграла, включающего в раздел от минус бесконечности до моды множество первообразных.

Изгиб верхней дуги от точки моды = =
= =0,05^o ;

Точка мода ––средняя структуры; центр группы точек, относительно которой минимальное отклонение, то есть минимум квадратов отклонений е=2,721,П=180^о .См.рис.2.

Для средней точки(моды) :F( [1;Паниотто В.С, Максименко В.С.- Количественные методы в социологических исследованиях:, Киев:, Наукова думка,2002]

В случае наложения признаков друг на друга в одной точке(моде),то есть закон интерференции, F(x)=1.

В квадратных симметричных матрицах – пассивная медиана ½ площади матрицы ,является матричной структурной средней. Факторный анализ ,метод главных компонент может рассчитываться учитывая отклонение от структурной средней матрицы.

Структурные средние особенно важны для таблиц, матриц, лучей распределения, в позиции заполнения нормированными значениями признака

(во всех клетках таблицы одинаковые числовые значения),то вычленяется структура и объем матриц (таблиц).Определяется число строк, число столбцов и середина цельного объема(площади) матрицы или таблицы, как линия отсекающая ровно половину квадрата(прямоугольника, линии)-то есть медианное (пассивное)значение структуры Оно может быть одномерное (точка на луче интенсивности или временного ряда),двумерное(координаты Х и У) и трехмерное – как линия отсекающая половину рассматриваемого объема(координаты Х,У и Z- длина линии).

Обычно медианной структурной средней в симметричной матрице бывает диагональ. Которая в корреляционной таблице (матрице) заполнена значениями 1(абсолютная корреляция-интерференция признака) или значением 0(отсутствие корреляции между двумя разными элементами).

Особенно часто опираются на медианную линию, как ½ площади объекта при моделировании архитектурных сооружений различного назначения и всевозможных геометрических расчетах .

Модальная структурная средняя используется в исследованиях биологических популяций видов в ботаники и молекулярной генетики, психологии.